Masse und Impuls eines Photons

Allgemein

Das Photon hat aus dem Massenerhaltungssatz folgernd eine Masse, auch wenn es nach Einstein keine Ruhemasse besitzt. Dementsprechend gilt nach der Äquivalenz von Raum und Zeit, dass Masse und Impuls äquivalent sind. Also hat ein Photon auch einen Impuls. Dieser entspricht der Elementarmasse multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit. Dieses gilt für die Elementarfrequenz. Ansonsten kann man die Masse eines Photons mit m = h * f / c² berechnen. Der Impuls ist entsprechend p = h * f / c. Da virtuelle Massen, etc... oder keinen Impuls anzunehmen wäre falsch. Das zeigt auch die Quantentheorie. Bei der Heisenbergschen Unschärferelation wird angenommen, dass selbst wenn man ein Versuchsobjekt mit einem Photon beschießt, dieses die Messung unscharf macht. Das rührt daher, dass das Photon mit seiner Masse und seinem Impuls das Versuchsobjekt verschiebt, so dass man den Ort nicht mehr genau bestimmen kann.

Masse und Ruhemasse des Photons

Manche Wissenschaftler sagen, das Photon besäße keine Masse, weil es keine Ruhemasse hat. Die Ruhemasse ist nur ein theoretischer Begriff von Einstein eingeführt, der sich definiert als m(0) = m * relativistische Wurzel (= Wurzel aus (1 - v² / c²)). Die Ruhemasse ist der Kunstbegriff. Er beschreibt, so die Theorie, den Wert, den ein Teilchen annimmt, wenn es absolut in Ruhe wäre. Da nach der Relativitätstheorie nichts in absoluter Ruhe vorkommt, ist er nur theoretischer Natur. Aber wie gesagt: Die Ruhemasse ist der Kunstbegriff, die eigentliche Masse hängt von ihr nach oben genannter Formel ab. Die Ruhemasse des Photon ist nach Einstein 0. Dennoch hat das Photon eine wahre Masse, die größer 0 ist. Das nehmen auch andere an, nennen sie aber relativistische oder kinetische Masse. Das erinnert ein bisschen an Lorentz, einem der Mitbegründer der Relativitätstheorie, der von longitudinaler und transversaler Masse des Elektron spricht. Heute ist man sicher und spricht auch nur noch von der Masse des Elektrons.

Masse des Photons nicht definiert?

Früher sprach man davon, dass das Photon eine nicht definierte Masse hat, da ja nach dem Zusammenhang von Masse und Ruhemasse durch null geteilt wird. m = m(0) / relativistische Wurzel. Da beides für das Photon gegen null tendiert, bzw. auch Null wird, nahm man an, dass die Masse des Photons nicht definiert sei. Dass man aber die Division durch null definieren kann, kann man hier nachlesen unter Division durch null. Auch könnte man sagen, wenn man dieses ausklammert, dass der Grenzwert gegen null tendiert, der Term aber 1 wird, was der Elementarmasse entspricht. Dies liegt daran, dass sowohl Ruhemasse als auch die relativistische Wurzel gegen null tendieren und dieses gleichmäßig. Warum in der neueren Literatur diese Frage ausgeklammert wird und per se behauptet wird das Photon habe keine Masse, ist mir schleierhaft. So einfach ist die Beantwortung dieser Frage nicht.

Photon und Gravitation

Nach Einstein unterliegt das Photon, also Sonnenstrahlen der Gravitation. So bewies er die Ablenkung der Sonnenstrahlen während einer Sonnenfinsternis, bei der der Mond sich vor die Sonne schiebt. Die Strahlen, die dennoch vorbei kamen, die Sonne bildet dann einen Kranz am Himmel, wurden genauso abgelenkt, wie er es berechnet hatte. Auch das nehme ich als Indiz dafür, dass das Photon eine Masse hat. Masselose Teilchen unterliegen nicht der Gravitation, auch wenn Einstein Gravitation eher als Krümmung der Raum-Zeit definiert und von der Masse losgelöst betrachtet. Dennoch gehört zu jeder Kraft, wie es die Gravitation ist, nach F = m * a eine Masse, die beschleunigt oder in diesem Fall abgelenkt wird. Ohne diese Masse wäre auch die Kraft 0 und somit nicht existent. Oder wenn man die Kraft annimmt, wäre bei einer Masse von null die Beschleunigung unendlich, was natürlich nicht der Fall ist. Man sollte bei Einsteins neuen aufregenden Gleichungen nicht vergessen, dass es wohl geformte Definitionen gibt, die man nicht einfach negieren kann.

Der Beweis

Ja, es glaubt mir nicht jeder meine neue Mathematik wie unter Division durch null und Komplexe Zahlen, also bin ich gezwungen, es mit herkömmlichen mathematischen Mitteln zu beweisen. Wie unter dem Aufsatz relativistische Wurzel gezeigt, kann man diese ganz einfach durch die mehrere Orte überstreichende Geschwindigkeit v(rot) / c ersetzen. Diese ist dann wieder gleich dem Zeitfluß T(0) / T. Also ergibt sich: m(Photon) = m(0) / v(rot) / c oder m(Photon) = m(0) / (T(0) / T * c). Ich lasse nach dem Einheitssystem jetzt mal c als eins weg, mathematisch ändert sich da nix. Dann gucken wir uns den Term an m(Photon) = m(0) / Zeitfluß. Und zwar in Abhängigkeit von v. Für limes(v -> c) nimmt die Ruhemasse m(0) ab, bis sie bei c null wird nach bisheriger Mathematik. Genauso nimmt der Zeitfluß ab, die Dinge bewegen sich immer langsamer bis er null wird. Beide Funktionen sind für limes(v->c) streng monoton fallend. Für Überlichtgeschwindigkeit, also limes (v -> unendlich) geht die Funktion in den imaginären Bereich, wie von Einstein und Minkowski propheziehen. Hier müsste sie nun entweder weiter fallen oder steigen, aber keinen Wendepunkt beinhalten, um den Satz von L'Hospital anwenden zu können. Nach diesem ist der Grenzwert 0 / 0 dann definiert, wenn der Grenzwert für eine Ableitung, sei es die erste oder auch zweite definiert ist. Für Überlichtgeschwindigkeit wird die Ruhemasse m(0) negativ, der Zeitfluß imaginär. Das alles hilft aber noch nicht wirklich, heute hatte ich die zündende Idee. Und im Nachhinein stellt es sich so dar, dass die Frage nie war, ob ein Photon keine Masse hat oder doch. Die Frage nach Einstein war, warum hat das Photon nach E=mc² eine Masse, wenn 0 durch 0 geteilt wird. Ich danke dem anonymen Hinweisgeber hier, der auf den Satz von L'Hospital hingewiesen hat, auch mein alter Schulfreund Schaper, ihr kennt ihn von der aufgeblasenen Menge und der Division durch null, hat mich auf diese Spur gebracht.

Letztlich quadrieren wir die Einstein Masse-Ruhemasse-Beziehung. Dann haben wir m² = m(0) ² / (1 - v² / c²), weil die Wurzel unten weg fällt. Jetzt leiten wir zweimal nach v ab, weil ja nach L'Hospital der Grenzwert von 0 / 0 dann gegeben ist, wenn die Ableitungen einen Grenzwert haben. Unten sehen wir ergibt das dann - 2 / c². Also definitiv ein reelle Zahl. Für den Ausdruck oben brauchen wir dann noch etwas Physik. Man muss die Einstein Energie-Impuls-Gleichung erstmal vereinfachen. Dann heißt sie m(0)² * c^4 + c² * p² = m² * c^4. Das heißt die Ruhemasse ist gegeben durch den Term m(0) = sqrt(m² - p² / c²).

Da wir ja in unserem Beweis quadriert haben, ergibt sich somit für den Zähler m² - p² / c². Dass der Nenner gegen eine negative Zahl in der zweiten Ableitung tendiert, hatten wir ja schon bewiesen. Diesen Ausdruck für die Ruhemasse multiplizieren wir jetzt mit c^4. (Keine Angst die c^4 verändern das grundsätzliche Ergebnis im Nenner nicht. Dann ist der Zähler m² * c^4- p² * c². Nach E=mc² ist das dann E² - c²p². So jetzt wenden wir auf den Ausdruck 2 * L'Hospital an. E ist in diesem Sinne gleich mc² und damit von v nicht abhängig, also fällt es als Konstante weg. -c² * p² hängt aber von v ab. Heraus kommt beim zweimal Ableiten nach v: -2 * m² * c². Hier hätte ich eigentlich abgebrochen, weil ich wieder m habe und das könnte ja nach bisheriger Logik auch null sein, so dass der Ausdruck auch nach L'Hospital gegen 0 tendieren würde. Letztlich hindert mich aber niemand, auch auf die abgeleiteten Formeln Physik anzuwenden. Im ersten Beweis habe ich dann noch kompliziert die Energie-Impuls Gleichung angewandt und es damit bewiesen. Ich könnte es auch vereinfachen mit E=mc² und das tue ich jetzt hier auch. Letztlich entspricht dann dieser Ausdruck -2 E² / c². Da aber ein Photon definitiv eine Energie hat nach E = h * f, kommt auch hier ein negativer reeller Wert heraus. So tendiert der Ausdruck 0 / 0 für die quadrierte Masse - Ruhemasse Beziehung, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, gegen einen positiven reellen Wert. Wenn aber m² ein positiver reeller Wert ist, dann ist m ein positiver reeller Wert oder auch ein negativer reeller Wert, in beiden Fällen aber auf jeden Fall von 0 verschieden. Da negative Massen in der bisherigen Physik keinen Sinn machen, gilt, dass die Masse eine Photons ein positiv reeller Wert ist, die Elementarmasse. q.e.d.

Nachtrag

Selbst wenn man die Gleichungen von Wikipedia nimmt die ich ausdrücklich für falsch halte und die darauf beruhen, dass in einem Buch von Einstein er später in seinem Leben eine 0 beim m vergessen hat (oder derjenige, der die Gleichungen aufgenommen hat, zu der Zeit hat Einstein bestimmt nicht mehr selbst geschrieben), hätte ich nur einen negativen E(kin) Term im Zähler, welcher bei der zweiten Ableitung zu einer negativen Zahl wird. Also verändert das den Beweis nicht. Allerdings ist festzuhalten, dass eine Gesamtenergie größer mc² keinen Sinn macht. Wer so was behauptet, hat die Relativitätstheorie nicht verstanden, insbesondere die Äquivalenz von Raum und Zeit.