Diskussion:Umwandlung von Masse in Energie

Einheiten

Wie soll denn die Gleichung <math>E + m = const</math> mit Einheiten aussehen? Man kann ja schwerlich kg + J addieren. Also wandelt man mittels <math>E = m c^2</math> beide in die gleiche Einheit um und die Formel wird einigermaßen sinnlos…

[1] Stimmt! Das sieht man wieder wie sinnlos es ist, dass Energie in Masse umgewandelt wird oder Masse in Energie, man kann aus Joule keine Kilogramm machen und aus Kilogramm keine Joule. Da hätte ich die Induktion eigentlich gar nicht machen müssen ;-).

[2] E + m = const [Äpfel] + [Birnen] = Const. Auf einer Mischung aus Apfel und Birnbaum selbst verständlich nur. Nimmt man ferner an, dass das Verhältnis von Äpfeln und Birnen auf unserem Mischbaum nicht variieren kann und unabhängig voneinander ist, sind ebenso [Äpfel]=const. und [Birnen]=const. Aber wie jeder weiß lassen sich daher auch Äpfel nicht in Birnen umwandeln, daher ist auch der Zusammenhang der beiden Größen und der Lichtgeschwindigkeit (ferner c genannt) völlig an den Haaren herbeigezogen, z.z. durch vollständige Induktion:

I.A.: [Äpfel] / [Birnen] = c² Baum trägt einen Apfel und eine Birne, daher:

1/1 = c²

Da c bekanntlich aber nicht 1 [apfel]/[birne] beträgt ist der Induktionsanfang nicht erfüllt, was aber auch jedem erischtlich sein sollte, denn wenn man Äpfel durch Birnen teilt, ergibt sich Apfel-Birnen-Kompott. Diesen hätte sich Einstein wohl besser auf seinen Pfannekuchen geschmiert, als er die mathematisch wilde Idee zur Relativitätstheorie hatte.

[1] Naja, lies doch mal Lisa Randalls "Verborgene Universen". Eigentlich ein sehr gutes Buch, allerdings geht sie auch von Teilchen mit einer "Masse" von eV aus, Das hat sich leider eingebürgert, obwohl eV eine weitere Einheit für Energie ist. Und mit deinem Apfel / Birnen Vergleich liegt du gar nicht so falsch, wenn Masse in Energie umgewandelt wird, machst du aus Äpfeln Birnenkompott, obwohl du genau weißt dass du eigentlich nur aus Birnen Birnenkompott machen kannst.

Und außerdem geht es ja um die Mathematik: Wenn eine größe in eine andere umgewandelt werden soll, muss die eine Größe größer werden und die andere kleiner, also muss die Summe konstant bleiben. Dass das ohne Einheiten schon zu Schwierigkeiten führt ist klar, aber mit Einheiten sieht man dann erst recht, dass Masse nicht in Energie umgewandelt werden kann und umgekehrt.

[2] So jetzt aber mal ganz im ernst: [E] = 1 Joule = 1 kg * m² / s² [m] = 1 Kg [c] = m / s

Und jetzt mal ganz langsam: E = m * c² -> kg * m² / s² = kg * (m/s)² = kg * m² / s²

Da ist kein einheitenfehler, bei E + m =k , wobei k auf R, ist sehr wohl ein einheitenfehler. Natürlich in eV eine einheit für energie (energie der elektronenmasse eines Elektrons)?! Masse und Energie sind verknüpft, daher eben nicht apfel und birne, man kann sie nur nicht addieren, weil sie KOMPLETT andere einheiten haben. Stecke bitte mal deinen Föhn ein, schalt ihn ein und sag mir was passiert, wenn warme luft rauskommt dann hast du dir selbst den beweis geliefert, dass es einen Massendefekt und damit eine direkte Umwandlung von Masse (bzw Bindungsenergie) in (Wärme-)Energie gibt (vgl. Kernspaltung).

Aber um es für dich auch physikalisch schlüssig zu machen. Aus den Lorentztransformationen folgen die wohl bekanntesten Einsteinschen Postulate (postulate daher, da wohl niemand mit fug und recht behaupten kann, er hätte sich schon einmal mit lichtgeschwindigkeit bewegt). Ganz zentrale Erkenntnis ist die konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (vgl. Michelson Interferometer), und vor allem die tatsache, dass die Geschwindigkeit, die eine Masse m erreichen kann durch eben diese gedeckelt ist, da ihre masse mit steigender geschwindigkeit zunimmt.

Aber zum anfang, Lorentztransformation. Bewegen sich zwei beliebiege systeme mit v << relativ zueinander in x Richtung, kennt man klassisch die strecke Zeitbeziehung. Betrachtet man von einem system aus das andere so erkennt man dass sich das beobachtete system mit einer streckenänderung von v * t wegbewegt, bzw es sich auf einen mit selber streckenänderung zubewegt (vgl. überholvorgang).

Lorentztransformation bzw Folgen der Konstanz der Lichtigeschwindigkeit

Formeln bitte in einen etwaigen LaTex fähigen Editor einfügen

Wendet man selbiges aber auf licht an, so folgt aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, dass sich das relative system niemals schneller als c von einem wegbewegen kann, sprich sitzt man im beobachtenden system misst man als geschwindigkeit des lichtes immernoch c und nicht etwa eine vergrößerte geschwindigkeit des lichtes, dadurch dass das system nicht in ruhe ist. Daraus folgt:

<math>x = c \cdot t</math> <math>{x}' = c \cdot {t}'</math>

führt man nun den korrekturfaktor alpha ein, der beide extremfälle zusammenfassen soll (Klassische transformation und extremfall für v=c) ergibt sich: <math>x= \alpha \cdot ({x}'+ v \cdot {t}')</math> <math>{x}'= \alpha \cdot ({x}- v \cdot {t})</math>

Wie wir sehen skaliert unser alpha die Zeit unserer beiden relativ zueinanderbewegten systeme, wie ist noch unbekannt, ergibt sich aber aus umformung: 1) <math>x = c \cdot t=\alpha \cdot ({x}'+ v \cdot {t}')</math> 2) <math>{x}' = c \cdot {t}'= \alpha \cdot ({x}- v \cdot {t})</math>

1) nach t: <math>t=\frac{\alpha }{c} \cdot (v+c)\cdot {t}'</math>

t in 2): <math>c \cdot {t}' = \alpha \cdot (c - v) \cdot \frac{\alpha}{c}\cdot (c+v)\cdot {t}'</math>

Nun nach alpha umformen: <math>{\alpha}^2 = \frac{{c}^2}{{c}^2-{v}^2}\Rightarrow \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{{v}^2}{{c}^2}}}</math>

Qulitativ können wir an alpha nun schon einiges ablesen, nämlich, dass mit annäherung an c die umhüllende Wurzel im nenner von alpha zu 0 wird, und damit der bruch nicht länger definiert ist, was unserer erwartung ja auch entspricht, da c ja konstant ist. Um nun ruckschlüsse auf eine bewegte masse ziehen zu können, starten wir gleichen versuch mit relativ zueinander bewegten system mit 1 masse, deren Impuls aus den beiden relativ zueinander bewegten system gemessen wird: <math>p = m \cdot v</math> <math>{p}' = {m}' \cdot {v}'</math>

Stellen wir uns aber der anschaulichkeit halber vor, die kugel trifft auf eine glasscheibe, wir beobachten daher in beiden systemen den selben effekt des massenimpules, nämlich die zerstörung der scheibe, und zwar mit dem selben ausmaß, soll heißen, es gilt impulserhalt:

3)<math>p = {p}' \Leftrightarrow m \cdot v = {m}' \cdot {v}'</math>

Durch unsere Herleitung von alpha wissen wir aber den Zusammenhang zwischen v und v': <math>{v}' = \frac{v}{\sqrt{1+\frac{{v}^2}{{c}^2}}}</math>

Daher wissen wir nun, dass die einzige größe die sich noch ändern kann, die masse selbst ist. In 3) eingesetzt: <math>{m}' \cdot v = m \cdot \frac{v}{\sqrt{1+\frac{{v}^2}{{c}^2}}}</math>

Durchkürzen von v ergibt dann endlich den gewünschten zusammenhang: <math>{m}' = \frac{m}{\sqrt{1+\frac{{v}^2}{{c}^2}}}</math>

Nun sind wir schon nah am Ziel, da wir wissen, dass c konstant ist, können wir auch obige gleichung auch einfach mit c² durchmultiplizieren: <math>{m}' \cdot {c}^2 = \frac{m\cdot {c}^2}{\sqrt{1+\frac{{v}^2}{{c}^2}}}</math>

Wir haben nun also einen Zusammenhang der masse m und der geschwindigkeit v -> m(v), nun lösen wir die würzel durch anwenden der binomischen formel auf: <math>{m}' \cdot {c}^2 = m \cdot {c}^2 + \frac{1}{2}m \cdot {c}^2 + ...</math>

Höhere Glieder der Gleichungen sind nicht benötigt, da sie alle von v abhängen, wir suchen aber ja eine Energie die völlig unabhangig von der Geschwindigkeit eines körper ist, die Ruheenergie und wie man oben ablesen kann lautet diese: <math>E = m \cdot {c}^2</math>

Ebenso kann man an der gleichung, die altbekannte kinetische Energie eines bewegten körpers ablesen, die auch durch andere beweisführungen gesichert ist: <math>E_{kin} = \frac{1}{2}m \cdot {v}^2</math>

q.e.d.